数学

命题人新思路系列二:因数分解之穷举

来源:跨考2019-04-28

  同学们好,我是跨考考研初数教研室的郑良聪,为你们专心研究初数,尺量命题的大葱老师。现在是初数复习的基础阶段,同学们的主要任务是了解考试特点,明确考察内容,打好基础功底。除此之外,还要将眼光放远,为暑期第二阶段的复习提前铺路;要复习方向正确以及不做无用题,总结一下就是做符合命题人思路来命制的题。今天我就整数部分的因数分解这个点给大家做分析。

  ·知识奥义
 

  ·真题品鉴

  (2017)某机构向12位教师征题,共征集到5种题型的试题52道,则能确定供题教师的人数.

  (1)每位供题教师提供题数相同.

  (2)每位供题教师提供的题型不超过2种.

  【答案】C

  【解析】根据52=2×26,52=4×13,

  由条件(1)可知老师人数可能为2或4。因此,条件(1)不充分。

  满足条件(2)的可以有4个老师也可以有12个老师等情况,因此不能确定供题教师的人数。

  明显条件(1)、(2)不充分。(1)(2)联合52=2×26,52=4×13,当人数为2人时征集到的题目数为最多为4道, 可得教师人数只能为4人。此题选C

  【点评】在17年这道题之前,关于整数命题中整数分解比较常见,但未出现整数分解若干种情况穷举再排除,选出正确的分解方式的题目,而破题的关键是把整数全面的分解穷举,同时注意隐含推理条件的使用。这是一个命制题目的新思路,难度一般能达到中上,把原来最简单的题目做了一个拔高。

  ·举一反三

  1、某考研机构老师一行不超过8人到彩票店买彩票刮奖,共刮了10种彩票,合计42张,则可确定买彩票的老师人数

  (1)每位买彩票的老师买的张数相同,至少两人买

  (2)每人买3种彩票,买票人数为质数

  【答案】C

  【解析】

  (1)反例,设买彩票老师人数为a,每人买票数为b,a≤8,42=7×6=14×3,所以a为3或6或7,无法确定,不充分;

  (2)不充分,每个人买彩票数量不确定,人数无法确定;

  (1)+(2),由(1)可知,买彩票老师人数是3或6或7,因为每人买3种彩票,3人最多买9种彩票,不可能是10种,排除3人,因为是质数,故人数是7,充分。

  2、甲、乙、丙三人打靶,每人打三枪,三人各自中靶环数之积都是60,且环数是不超过10的自然数,把三个人总环数由高到低排列依次是甲乙丙,那么靶子上4环那一枪是( )打的

  (A)乙或丙 (B)甲 (C)乙 (D)丙 (E)甲或乙

  2、【答案】D

  【解析】把60分解成若干个自然数60=1×2×2×3×5,再把这些因数重组成三个数相乘就是每个人的中靶情况;如果5单独做一枪环数,那么剩下两个数可以是2,6或3,4;若5不单独做一个数,5要和2相乘,那么剩下两个数可以是2,3或1,6;所以三人中靶情况如下:(10,2,3)15环,(10,6,1)17环,(6,5,2)13环, (5,4,3)12环,4环只出现在理论上最低总环数里,而总环数最低的是丙,所以4环一定是丙打的.

  3、某同学在做一道计算两位数乘以两位数的题目时,把一个乘数中的5 看成了8,得到的乘积是1104,那么正确的乘积是( )

  (A)690 (B)725 (C)940 (D)1035

  3、【答案】D

  【解析】对错误的乘积1104进行质因数分解有1104=2×2×2×2×3×23,然后将1104重组为两个两位数之积,穷举情况如下:

  1104=(2×2×2×2×3)×23=48×23;1104=(2×2×2×2)×(3×23)=16×69;

  1104=(2×2×2×3)×(23×2)=24×26;1104=(2×2×3)×(23×2×2)=12×92。

  只有第一种情况里48含有8,故正确两数乘积只可能是45×23=1035。

  同学们,你感受到命题人对整数的因数分解出题的思路了吗?如果觉得有道理,就和本年近三旬的老人一起勤学苦练吧。

  (本文为跨考教育教研室郑良聪老师原创,转载请注明出处。)

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