复习指导

2018年考研数学之概率论与数理统计复习指导

来源:跨考2017-03-28

  为了帮助考生们更好地开展对于概率论与数理统计的复习和备考,本文将在考试大纲和历年真题的基础上,简明扼要地整理出概率论与数理统计部分的考试内容和考试要求。与此同时,我们也衷心希望广大考生能在此期间,通过调整和改善自己的学习方法进而提高自己的学习效率。

  在数学一和数学三的真题试卷中,概率论与数理统计的内容所占的分值为34分,占到试卷总分的22%。

  在最新的《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》中,针对数学一、数和数学三,概率论与数理统计部分考查的主要内容如下表所示:

  接下来,本文将根据历年真题对概率论与数理统计的考查方式,再结合新的考试大纲,详细总结了概率论与数理统计部分的重要知识点和常考题型,以此来帮助各位考生更好地把握这部分内容的考试动态,从而真正做到有的放矢,相得益彰。

  第一部分,随机事件和概率。根据考试大纲,这一部分的考试要求具体如下:

  1、了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系和运算;

  2、理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式;

  3、理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法。

  与此同时,这一部分的重要知识点可归纳如下:

  (1)事件的关系和运算;

  事件的关系有:包含、相等、互不相容、对立和相互独立;

  事件的运算:加法、减法和乘法运算;此外事件的运算满足交换律、结合律、分配律和德摩根定律。

  (2)概率的公理化定义与性质、古典概型、几何概型;

  (3)概率的基本公式:加法公式、减法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式;

  (4)两个事件相互独立的概念和性质,多个事件两两独立、相互独立的概念以及两者之间的联系与区别;

  (5)独立重复试验中事件概率的计算。

  最后,通过分析整理历年考题,不难发现此部分的常考题型主要有下述四类:

  常考题型一:概率的基本性质。

  常考题型二:简单概型的计算。

  常考题型三:条件概率与独立性。

  常考题型四:重要公式的应用:这里所涉及到的三个重要公式是指:(1)伯努利概型;(2)全概率公式;(3)贝叶斯公式。

  第二部分:一维随机变量及其分布

  众所周知,随机变量和概率分布是概率论中的两个重要概念,是数量化研究随机现象的基础概念。在第一部分随机事件和概率中,我们已经熟悉了对随机现象的初步研究,而随机变量的引入可以使我们对随机现象的处理变得更为简单与直接。

  在考试大纲中,这一部分的考试要求具体如下:

  1、理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率;

  2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布及其应用;

  3、了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布;

  4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握用均匀分布、正态分布、指数分布及其应用;

  5、会求随机变量函数的分布。

  与此同时,在这一部分的知识体系中,围绕着随机变量及其概率分布这两个核心概念,随机变量的概率分布、事件的概率、常用分布则是考查的主要内容,具体表现归纳如下:

  1、分布函数、离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率密度的定义与性质。这里对考生的要求主要有:

  (1)考生需掌握判断分布的方法,并能够利用这些性质去判断某个函数能否作为分布函数,某分布列是否是离散型随机变量的分布列,以及某个具体的非负函数能否作为连续型随机变量的概率密度函数;

  (2)考生能够利用相关性质确定分布中的具体参数;

  (3)考生必熟练掌握利用随机变量表达事件进而计算概率的方法,要做到这一点,这就要求我们考生既能够利用分布计算概率,又能够利用概率求取分布;

  2、几个重要分布的定义、背景、性质及其应用:这里涉及到的重要分布主要有0-1分布、二项分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布。这里对考生的要求主要有:

  (1)考生需具备准确识别这些常用分布的能力;

  (2)考生不仅要掌握与常见分布相关的性质和特征,而且还能够应用这些常见分布及其性质解决相关问题。

  4、利用公式或分布函数法计算随机变量函数的概率分布,这部分内容偏重点在计算。此外,考生在做这方面的题目时,要注意反常变限积分的计算。

  最后,本文根据历年真题,将与一维随机变量及其分布相关的经典题型总结如下:

  常考题型一:对基本概念、性质和公式的考查;

  常考题型二:计算随机变量的概率分布。这其中,分布函数可用来刻画任意一个随机变量的概率分布,而分布列只能刻画离散型随机变量的概率分布,概率密度函数是连续型随机变量所特有的;

  常考题型三:常用分布的概念和性质。这其中,正态分布在近年的试卷中出现频率比较高。

  (跨考教育教学研究中心:包新卓)


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