高等数学

2020考研高数知识点详解:集合的概念

来源:跨考2018-12-26

跨考教育
  2019研究生入学考试的笔试也落下了帷幕,290万考生也终于卸下了沉重的考研包袱,终于可以肆无忌惮的进行身心的放松了。对于想要参加2020考研的小伙伴们来说,基础复习是时候开始进行了,下面小编整理了2020考研数学高等数学复习各知识点的详细解析,供大家参考!

  集合的概念

  一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。

  我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:aA。

  ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N

  ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

  ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

  ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

  ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。

  集合的表示方法

  ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合

  ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。

  集合间的基本关系

  ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。

  ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。

  ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。

  ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ,并规定,空集是任何集合的子集。

  ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:

  ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A

  ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。

  ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

  集合的基本运算

  ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。)

  即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

  ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。

  即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

  ⑶、补集:

  ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

  ②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集,记作CUA。

  即CUA={x|x∈U,且x A}。

  集合中元素的个数

  ⑴、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。

  ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A={a,b,c},则card(A)=3。

  ⑶、一般地,对任意两个集合A、B,有

  card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

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