高等数学

2020考研须知数学公式定理:中值定理

来源:跨考2018-12-29

  2019研究生入学考试的笔试也落下了帷幕,对于想要参加2020考研的小伙伴们来说,也开始投入了战斗,考研备考开始的时间有的早有的晚,有些基础不太好或者需要冲刺名校的考生会选择大三上学期甚至更早就开始准备。而现阶段,基础复习是时候开始进行了,下面小编整理了2020考研数学高等数学考前须知的公式定理,供大家参考!

  中值定理与导数的应用

  1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a

  2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a

  3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

  4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

  5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么:(1)如果在(a,b)内f’(x)>0,那么函数f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f’(x)

  如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

  6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,如果存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何点x,f(x)f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

  在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的,但曲线上有水平曲线的地方,函数不一定取得极值,即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点),但函数的驻点却不一定是极值点。

  定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数在x0的导数为零,即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导,且f’(x0)=0,那么:(1)如果当x取x0左侧临近的值时,f’(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时,f’(x)恒为负,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时,f’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时,f’(x)恒为正,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时,f’(x)恒为正或恒为负,那么函数f(x)在x0处没有极值。

  定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那么:(1)当f’’(x0)0时,函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点,不是驻点也有可能是极值点。

  7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续,如果对任意两点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

  定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f’’(x)>0,则f(x)在闭区间[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f’’(x)

  判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0,解出这方程在区间(a,b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0,检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号,如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号,那么当两侧的符号相反时,点(x0,f(x0))是拐点,当两侧的符号相同时,点(x0,f(x0))不是拐点。

  在做函数图形的时候,如果函数有间断点或导数不存在的点,这些点也要作为分点。

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