高等数学

【跨考名师辅导】如何学好多元函数积分学?

来源:跨考2019-05-16

  现在已5月中旬了,同学们的复习已慢慢进入最佳状态,很多学生高等数学复习已接近尾声,但是高等数学的最后两个章节大家可能比较陌生,学习效果不是很好,尤其是多元函数积分学这一章使不少考生理不出头绪,因此田老师就给大家介绍一下多元积分学,尤其是数学一部分,为你们的复习引路。

  考研数学之多元函数积分学这部分内容在考研中数一数二数三的区别比较大,数二和数三只考二重积分,数一除了考二重积分还考三重积分、曲线积分和曲面积分。这部分考点几乎每年必考。有些年份数学一试卷既考查了二重积分、还考了曲线和曲面积分,对多元函数积分学的是面面俱到。二重积分相对简单,重点是计算,会算直角坐标系下和极坐标系下二重积分的计算。下面我们主要谈谈数一单独考查的内容。

  数一单独考查的内容:三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、散度、旋度。

  这部分内容属于每年必考题型、常以解答题形式出现、至少11分。得分率偏低,主要原因不是因为这部分内容难,而是因为该部分内容比较生疏,做题较少造成的。如果今年考生没好好复习这块内容,将会后悔莫及啊,你将白白丢掉10大分。

  这部分内容主要是计算。三重积分计算要掌握“先二后一”、“先一后二”及球坐标系计算三重积分的方法,另外结合奇偶性及轮换对称性可简化计算。第一型和第二曲线积分计算,记住四个字“代入、定限”,代入代的是曲线方程,定限二者有所区别,第一型定限下限是积分变量的最小值,上限是积分变量的最大值,第二型定限是起点到终点。第二型曲线积分也可考虑用格林公式将第二型曲线积分转化成二重积分,也可以用积分与路径无关相关知识计算,若是空间中的闭合曲线也可考虑用斯托克斯。计算曲线积分尤其是第一型的也经常结合对称性简化计算。第一型曲面积分计算,记住“代入、投影”,代入的是曲面方程如将z=z(x,y)代到被积函数中,投在某个坐标平面如xoy平面,当然dS与dxdx还有一个比例关系不要漏掉。第一型曲面积分也常结合对称性(奇偶性、轮换对称性)简化计算。第二型曲面积分,计算也是记住四个字“代入、投影”,代入曲面方程,投影时注意要带符号,另外经常“三化一”(几乎每道题均可如此)。第二型曲面积分也可考虑用高斯公式,转化成三重积分去计算。最后,散度、旋度公式记住即可。

  掌握方法不一定能拿满分,还要多做题。适当的题海战术是必要的。多练习,在做题中才能把只是内化成自己的。这是学习好任何一个章节的不变法则。希望大家踏踏实实学习,在不断做题中提高自己的计算能力,以达到考研对我们的要求。

  (本文为跨考教育教研室田小辉老师原创,转载请注明出处。)

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