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2020考研:盘点考研数学16种求极限的方法

来源:跨考2019-07-17

跨考教育

  大纲的发布意味着考研复习进入强化阶段,这一阶段的高效复习非常关键。作为考研课程中的公共课程,数学在其中起着至关重要的作用。数学中求极限是每年必考点之一,下面小编给大家总结了16种求极限的方法,要好好掌握!!

  解决极限的方法如下:

  1、等价无穷小的转化

  只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小

  2、洛必达法则

  (大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导,直接用,无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!

  当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况:0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷,无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因,LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候,LNX趋近于0)。

  3、泰勒公式

  (含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina,展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

  4、无穷大比上无穷大

  面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!

  5、无穷小于有界函数

  无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数,可能只需要知道它的范围结果就出来了!

  6、夹逼定理

  主要对付的是数列极限!这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。

  7、等比等差数列公式应用

  对付数列极限(q绝对值符号要小于1)

  8、各项的拆分相加

  (对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,因为极限去掉有限项目极限值不变化。

  9、求左右极限的方式

  (对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,因为极限去掉有限项目极限值不变化。

  10、两个重要极限的应用

  这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大,无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)

  11、趋近于无穷大

  还有个方法,非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数,快于幂数函数,快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候,他们的比值的极限一眼就能看出来了。

  12、换元法

  换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元,而是换元会夹杂其中。

  13、四则运算

  假如要算的话四则运算法则也算一种方法,当然也是夹杂其中的。

  14、数列极限

  还有对付数列极限的一种方法,就是当你面对题目实在是没有办法,走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

  15、单调有界

  单调有界的性质,对付递推数列时候使用证明单调性!

  16、导数的定义

  直接使用求导数的定义来求极限,(一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候,就是暗示你一定要用导数定义!

  【求极限的一般题型】

  1、求分段函数的极限,当函数含有绝对值符号时,就很有可能是有分情况讨论的了!当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候,就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的!

  2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了,就是说函数中现在含有积分符号,这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉!

  解决办法:

  1、求导,边上下限积分求导,当然就能得到结果了,这不是很容易么?但是!有2个问题要注意!问题1:积分函数能否求导?题目没说积分可以导的话,直接求导的话是错误的!!!!问题2:被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决?

  解决1的方法:就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!

  解决2的方法:当x与t的函数是相互乘的关系的话,把x看做常数提出来,再求导数!!当x与t是除的关系或者是加减的关系,就要换元了!(换元的时候积分上下限也要变化!)

  3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候,就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的,当所求的极限是递推数列的时候:首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!数列是离散的,只能用前后项的比较(前后项相除相减),数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同时求极限,就能出结果了!

  4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。

  解决办法:主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如:当x趋近0时候f(x)比x=3的函数,分子必须是无穷小,否则极限为无穷,还有洛必达法则的应用,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则,可以消掉某些未知数,求其他的未知数。

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