线性代数

2020考研线性代数必考题型之【向量与线性方程组】

来源:跨考2019-05-16

  向量和线性方程组是考研的必考题型之一,几乎每年必考,当然这部分内容也是各位考生既熟悉又陌生的一章,跨考数学教研室田老师今天就为大家介绍一下这一章,让这个熟悉的陌生人变成熟人。

  向量是线性代数的核心内容之一,是研究线性方程组的解而引入的工具,在考研数学线性代数这一科目中出题频率很高,属于每年必考题型,考查方式为选择题和解答题,分值4分到11分不等。

  向量是数学一、数学二和数学三均考查的内容,根据考试大纲,数学一比数学二和数学三的考试内容多了一个考点。多出的考试内容包括:“了解向量空间、子空间、基底、维数及坐标等概念,了解基变换及坐标变换公式,会求过渡矩阵”,这些内容虽然考试的频率不高,但考数学一的考生也应了解其概念和掌握基本计算方法。

  常考题型如下:第一,判断或证明向量组的线性相关性。对于抽象向量组来说,主要利用向量组的定义即向量组对应的齐次线性方程组有无非零解来判定;而对于数值型向量组来说,主要利用向量组所构成的矩阵的秩或行列式来判定。第二,判断某个向量是否可由一组向量线性表示,以及求其表达式,这类题目完全可以转换为非齐次线性方程组是否有解,有解时求其所有的解来解决。第三,求向量组的极大线性无关性,并写出其他向量由极大线性无关组的表达式。对列向量组构成的矩阵进行初等行变换,化为行最简形矩阵即可。第四,判断或证明向量组之间是否等价。一般用定义来证,也就是证明它们可以互相线性表示。

  线性方程组是线性代数的另一核心考点。考试中,线性方程组的内容往往以解答题的形式出现,分值为11分。

  常考题型如下:第一,齐次线性方程组有无零解和非齐次线性方程组是否有解的判定。对于齐次线性方程组,当方程组的方程个数和未知量的个数不等时,可以按照系数矩阵的秩和未知量个数的大小关系来判定,还可以利用系数矩阵的列向量组是否相关来判定;当方程组的方程个数和未知量个数相同时,可以利用系数行列式与零的大小关系来判定,还可以利用系数矩阵有无零特征值来判定;对于非齐次线性方程组,可以利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩是否相等即有关矛盾方程来判定,还可以从一个向量可否由一向量组线性表出来判定;当方程个数和未知量个数相等时,可以利用系数行列式是否为零来判定非齐次线性方程组的唯一解情况;今年的考题就体现了这种思想。 第二,齐次线性方程组的非零解的结构和非齐次线性方程组解的的无穷多解的结构问题。如果齐次线性方程组有无穷多个非零解时,其通解是由其基础解系来表示的;如果非齐次线性方程组有无穷多解时,其通解是由对应的齐次线性方程组和通解加本身一个特解所构成;第三,齐次线性方程组的基础解系的求解与证明。利用系数矩阵的极大线性无关组的内容进行分析;第四,齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。如果方程组的方程个数和未知量个数不相等时,只能对其系数矩阵或增广矩阵进行初等行变换,化为阶梯形矩阵来进行讨论;如果方程组的方程个数和未知量个数相同时,初等行变换和行列式可以结合起来一起进行分析和讨论;第五,两个方程组的公共解、通解问题。这部分有固定解法,考生要多加练习。由于这部分常以大题出现,分值较高,需要考生提高警惕,在理解的基础上多做题。

  以上就是向量和方程组这一章的特点,希望给位考生学习过程中多加总结、留心,定能学好!

  (本文为跨考教育教研室田小辉老师原创,转载请注明出处。)

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