线性代数

【名师辅导】线性代数中的行列式重难点分析

来源:跨考2019-06-17

  行列式是线性代数的最基本的理论之一,在教育部考试中心所颁布的最新的考试大纲中,对行列式部分规定的考试内容和考试要求如下:

  1.考试内容:(1)行列式的概念和基本性质;(2)行列式按行按列展开定理。

  2.考试要求:(1)了解行列式的概念,掌握行列式的性质;(2)会应用行列式的性质与行列式按行(列)展开定理。

  下面,笔者将根据历年真题所呈现的题目类型,对行列式部分考查的重难点进行逐一分析。

  1.n阶行列式的定义。n阶行列式的结果是一个数值(这一点请考生务必清楚),它是取自不同行.不同列的n个元素乘积的代数和。每一项的符号由行标(或列标)排成自然顺序时,该项的列标(或行标)排列的逆序数所确定。行列式的定义是计算行列式的基础。

  对于行列式的定义,考生需要熟知的是:n阶行列式的值是n阶行列式取自不同行.不同列的n个元素乘积的代数和,由此不难得知,n阶行列式的值是由n!项的代数和,在展开的n!项中,其中正项有n!/2个,负项也有n!/2个,例如下面的三阶行列式。

  

 

  2.n阶行列式的性质。行列式的性质是计算行列式的关键,熟练运用行列式的性质是正确计算行列式的保证。考纲要求考生必须熟练掌握行列式的5条性质和3个推论,并拥有快速计算行列式的能力。

  3.n阶行列式元素的余子式与代数余子式:这里代数余子式是重点,其作用不仅体现在行列式的展开定理中,而且还运用在矩阵的运算中,即矩阵中的伴随矩阵,伴随矩阵的元素就是原矩阵的元素的代数余子式。

  4.n阶行列式按行(列)展开定理及其推论。考纲要求考生熟记行列式按行(列)展开的计算公式,并能熟练运用行列式的性质和展开定理速算行列式。

  示例:

  

 

  5.几个重要公式:考纲要求考生重点掌握对角行列式与上(下)三角行列式.方阵的行列式.范德蒙德行列式,能熟练运用这些公式计算行列式。

  6.常见考点:利用行列式的定义、性质、展开定理、计算公式、矩阵的秩、矩阵的特征值、克拉默法则等计算一般形式的行列式、方阵的行列式、由向量组成的行列式、抽象矩阵的行列式。

  示例:

  

 

  

 

  参考资料:

  1.《2019全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》,教育部考试中心,高等教育出版社

  2.《1987-2019全国硕士研究生招生考试真题大全》,跨考教研室

  (本文为跨考教育教研室包新卓老师原创,转载请注明出处。)

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