线性代数

2020考研数学之特征值与特征向量

来源:跨考2019-06-17

  转眼间已是六月中旬,基础阶段的线代课程已基本结束,今天我们来说一下关于特征值与特征向量这一块的内容。特征值与特征向量是线性代数的重要内容,当然也是重要的考点之一。这一部分既是要对前面矩阵、线性方程组的综合应用,也是后面二次型的基础。特征值与特征向量这一章节所涉及的题目多,分值大,平均每年考查10分左右。

  特征值与特征向量这一块包含三个方面的内容:1、特征值与特征向量的定义与性质。2、矩阵相似于相似对角化。3、实对称矩阵的相关问题。

  首先我们来说下关于特征值与特征向量的定义及性质问题。我们是用特征多项式等于零来求特征值的,求解一个齐次线性方程组来求解特征向量的。因此求特征值与特征向量的方法和过程一定要掌握住,这里就要求我们对行列式的计算与齐次线性方程组的求解要熟练。对于一个抽象型的矩阵求特征值与特征向量我们是用定义来求解的。对于特征值与特征向量这一部分的性质我们主要掌握住:1、已知矩阵的特征值与特征向量,要记清楚其逆矩阵、伴随矩阵、相似矩阵以及转置的特征值及其特征向量,其中矩阵转置的特征向量咱们不用考虑。2、我们要会根据矩阵多项式来确定矩阵特征值的范围。3、已知矩阵的所有特征值,则矩阵的迹等于所有特征值的和,矩阵取行列式等于所有特征值相乘。这几个性质容易出一些选择题或者填空题,所以要求我们一定要掌握住。

  其次,关于矩阵的相似于相似对角化这一节,我们要掌握住矩阵相似的定义、矩阵相似的必要不充分条件,其中必要不充分条件的逆否命题是我们用来判别矩阵不相似的常见方法,其中两矩阵的迹不相等则不相似最好用。关于判别两个矩阵相似的问题,2017年考研与2018考研都出过选择题,因此我们要掌握住两个矩阵相似的判别方法。对于相似对角化的问题是容易出大题的地方,要会判别一个矩阵能否相似对角化并且要会求一个可逆矩阵使得矩阵可以相似对角化。判断矩阵是否可相似对角化有三个方法,两个充分条件:1、若矩阵是实对称矩阵则一定可以相似对角化。2、若n阶矩阵有n个不同的特征值则一定可以相似对角化。一个充要条件:若n阶矩阵有n个线性无关的特征向量则一定可以相似对角化。

  最后,关于实对称矩阵这一块。对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化,还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交,而且实对称矩阵的特征值全为实数。这里我们一定要会求一个正交矩阵来相似对角化,这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的,这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。

  特征值与特征向量这一章节是考研的重点内容,同学们一定要掌握住。考研路上,同学们继续加油!

  (本文为跨考教育教研室吴方方老师原创,转载请注明出处。)

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