线性代数

2020考研数学之向量组与线性方程组

来源:跨考2019-06-18

  现在已是六月中旬了,今天我们来说一下关于向量组与线性方程组这一块的内容。向量组与线性方程组是线性代数的核心内容,也是咱们理解和学习整个线代这门课的枢纽。这一章节内容是考研的重点,一般每年考查一道大题和一道小题,大概在15分左右。

  向量组这一部分主要是两大题型:1、判断一个向量是否可以用一组向量来线性表出。2、判断一组向量的线性相关性。

  首先我们来说一下对于判断一个向量是否能由一组向量来线性表出的方法,我们分为数值型向量组和抽象型向量组来说。对于数值型向量组我们是借助于非齐次线性方程组的解来判断一个向量是否由一组向量来表出的。把向量组以列的形式组成系数矩阵,然后来判别非齐次线性方程组解的情况。若非齐次线性方程有唯一解,则对应于可以表出,并且表示方法唯一;若非齐次线性方程组有无穷多解,则对应于可以表出并且表示方法不是唯一的;若非齐次线性方程组无解,则说明不能够表出。对于抽象型线性表出问题,我们可以通过相关定理以及线性表出的定义来判别,说明一个向量不能由一组向量来线性表出一般用反证法来比较方便。

  线性方程组这一部分内容主要包括:线性方程组解的判定、线性方程组解的性质、线性方程组解的结构。

  对于线性方程组解的判定我们是用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩来判定的。齐次线性方程组的解的判定,若系数矩阵的秩与方程组的未知量的个数相同则说明只有零解;若系数矩阵的秩小于未知量的个数则有非零解。若非齐次线性方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且与未知量的个数相等,则有唯一解;若非齐次线性方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,则有无穷多解;若非齐次线性方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等,则无解。

  对于线性方程组解的性质,齐次线性方程组的解的线性组合仍为齐次线性方程组的解;非齐次线性方程组的解的线性组合到底是齐次线性方程组的解还是非齐次线性方程组的解要看线性组合前的系数之和。若系数之和等于1,则仍为非齐次线性方程组的解;若系数之和为0则为齐次线性方程组的解。非齐次线性方程组的解加上齐次线性方程组的解仍为非齐次线性方程组的解。

  对于线性方程组解的结构,齐次线性方程组的通解为齐次线性方程组的基础解系的线性组合,而非齐次线性方程组的通解是齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程的特解。

  齐次线性方程组的基础解系是求齐次线性方程组与非齐次线性方程组通解的关键。对于数值型线性方程组是通过初等行变换而且只能通过初等行变换化系数矩阵或增广矩阵为行阶梯型,然后找出主变量与自由变量以及特解。对于抽象型线性方程组求通解根据定义求出基础解系和特解,然后求出通解的。

  考研之路仍然很艰辛,希望同学们继续努力加油!

  (本文为跨考教育教研室吴方方老师原创,转载请注明出处。)

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