线性代数

【2018考研数学】线性代数复习指导

来源:跨考2017-05-26

  线性代数是考研数学必考的一部分,这部分内容考题形式每年相对固定,是最好拿分的一部分内容。但线代对很多学子来说,最深刻感觉就是,抽象、概念多、定理多、性质多、关系多,给考生复习带来困难和阻力。下面是考研数学线性代数复习指导,希望同学们轻松拿下这部分内容:

  线性代数总共分为六章

  第一章 行列式

  本章的考试重点是行列式的计算,考查形式有两种:

  一是数值型行列式的计算;

  二是抽象型行列式的计算。

  另外数值型行列式的计算不会单独的考大题,考选择,填空题较多,有时出现在大题当中的一问或者是在大题的处理其他问题需要计算行列式,题目难度不是很大。

  主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。而抽象型行列式的计算主要:

  (1)利用行列式的性质

  (2)利用矩阵乘法

  (3)利用特征值

  (4)直接利用公式

  (5)利用单位阵进行变形

  (6)利用相似关系

  06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题,14年选择考了一个数值型的矩阵行列式,15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算。今年数一、数二、数三这块都没有涉及。

  第二章 矩阵

  本章的概念和运算较多,主要以填空题、选择题为主,另外也会结合其他章节的知识点考大题。

  本章的重点较多,有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。

  其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化,10年考查的是矩阵的秩,08年考的则是抽象矩阵求逆的问题,这几年考查的形式为小题,而13年的两道大题均考查到了本章的知识点,第一道题目涉及到矩阵的运算,第二道大题则用到了矩阵的秩的相关性质。14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路,考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识,但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。

  第三章 向量

  本章是线代里面的重点也是难点,抽象、概念与性质结论比较多。

  重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。

  出题方式主要以选择与大题为主。这一章无论是大题还是小题都特别容易出考题,06年以来每年都有一道考题,不是向量组的线性表出就是向量组的线性相关性的判断,10年还考了一道向量组秩的问题,13年考查的则是向量组的等价,14年的选择题则考查了向量组的线性无关性。15年数一第20题结合向量空间的基问题考查了向量组等价的问题。16年数数一、数三第21题与数二23题考的同样的题,第二问考向量组的线性表示的问题。

  第四章 线性方程组

  主要考点有两个:

  一是解的判定与解的结构

  二是求解方程

  考察的方式还是比较固定,直接给方程讨论解的情况、解方程或者通过其他的关系转化为线性方程组、矩阵方程的形式来考。

  近几年只有11年没有出大题,其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题,13年考查的第一道大题考查的形式不是很明显,但也是线性方程组求解的问题。14年的第一道大题就是线性方程组的问题,15年选择题考查了解的判定,数二、数三同一个大题里面考查了矩阵方程的问题。16年数一第20题矩阵方程解的判断和求解,数三第20题与数二第22题直接考线性方程解的判断和求解,数一第21题第二问解矩阵方程。16年数一、数三第21题与数二第23题第二问直接考矩阵方程解求解,基本都不需要大家做转换。今年数一、数三第20题、数二第22题第二问题都考了抽象的线性方程的求解问题。

  第五章 矩阵

  矩阵的特征值与特征向量,每年大题都会涉及这章的内容。考大题的时候较多。

  重点考查三个方面,

  一是特征值与特征向量的定义、性质以及求法

  二是矩阵的相似对角化问题

  三是实对称矩阵的性质以及正交相似对角化的问题。

  实对称矩阵的性质与正交相似对角化问题可以说每年必考,09、10、11、12、13年都考了。14考查的则是矩阵的相似对角化问题,是以证明题的形式考查的。15年数一、数二、数三选择题结合二次型正交化特点然后结合特征值定义考查;大题也是有一个题目相同,都是矩阵相似,然后对角化问题。16年数一数三第21题与数二第23题的第一问以考高次幂的形式出现,实质就是矩阵相似对角化。今年数一、数三第5、6、20、题与数二第7、8、14、22、14题都考相似、相似对角的判断性质。今年在这章涉及的分数高达20多分。

  第六章 二次型

  本章是第五章的运用,有两个重点:

  一是化二次型为标准形

  二是正定二次型

  前一个重点主要考查大题,有两种处理方法:配方法与正交变换法,而正交变换法是考查的重中之重。

  10、11、12年均以大题的形式出现,考查的是利用正交变换化二次型为标准形,而13年的最后一道大题考查的也是二次型的题目,但它考查的则是二次型的矩阵表示,另外也考到二次型的标准形,它是通过间接的方式求得特征值然后直接得出标准形的。后一考点正定二次型则以小题为主。14则是以填空题的形式出现的,考查的题目为已知二次型的负惯性指数为1,让求参数的取值范围。15年结合对角化考了个选择题。16年数一结合空间解析几何考了二次型的标准型,数三、数二正负惯性指数考察。今年数一、数三第21题与数二第3题考察的就是二次型正交对角化问题。

  综合所述,线代每年的考题都比较固定,大题基本上在线性方程和特征值的角度出。

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