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考研江湖(四)——秘籍宝典手中握,复习规划笑谈中_跨考网
跨考考研2015-03-24
来源跨考网整理
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  上回书说到了考研必备宝典——数学考试大纲。我们强调要重视它、用好它。这时有的听众发话了:“虽然考纲写得比较清楚,但我光看文字表述,还是不知道考试会怎么考,以什么方式出题,复习时需要注意什么,心理没底。老师,您肯定对考纲和考试形式都了解,那要不您带着我们过一遍考纲?主要说说考纲中没明确写出来的东西——比如哪块会出什么题?基础阶段怎么复习?”这位同学问题提得好,因为他恰好点出了我接下来要说的话。《考研江湖》系列文章的定位就包括“考研秘籍的使用说明书”,自然要把考试内、容考试要求和考试形式的对应说清说透。好,下面老师就带着大家过一遍考纲的“考试内容和考试要求”,并明确指出每个考点在基础阶段如何复习,力图帮助大家在头脑中形成一份“百度地图”:既包括宏观的考研数学的知识体系结构,又有每个考点的考试内容、考试要求、考试形式。Ready?Go!

  数学(一)

  高等数学

  一、函数、极限与连续

考试内容

考试要求

考试形式

复习点拨

函数的表示法

掌握

求函数解析式

如何表示函数是中学学过的内容:解析式、表格、图形等。最重要的是解析式。经过了高考洗礼的大部分考生对这个考点掌握得都不错。

基本初等函数的性质及其图形

掌握

微积分的基本计算中都可能涉及:求导、求积分、求极限

指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数的性质与图形是中学的重要内容,是学习高数的基础,必须熟练。

极限的性质及四则运算法则

掌握

极限的性质中的有界性和保号性可能出抽象型题目;四则运算则考极限计算

保号性是性质中的重难点,基础阶段不作过多讨论,强化和冲刺阶段会继续讨论;四则运算法则是计算极限的几种武器之一,可以延伸出“抓大头”和“函数的分解”两种小的方法。

极限存在的两个准则

掌握

极限计算(n项分母互不相同的分式的和的极限,无穷小乘以有界量仍为无穷小,以递推公式形式给出的数列的极限问题)

证明题(证明数列或函数的极限存在)

基础阶段要求理解好定理本身(能用自己的话表述定理内容),会做基本类型的题目(见左),更难更综合的题目后续阶段继续讨论。

利用两个重要极限求极限的方法

掌握

幂指型函数求极限

两个重要极限在理论上有重要作用,在考试中它可以用等价无穷小替换x~sinx和 “利用对数恒等式转化”这一方法代替。因为第二个重要极限只使用于“1的无穷次幂”这种类型的极限,而“利用对数恒等式转化”可以处理所有类型的幂指型函数的极限问题,更进一步,该种方法可以搞定幂指型函数的求导问题,所以推荐应对幂指函数的万能方法——“利用对数恒等式转化”。

无穷小量的比较方法

掌握

极限计算

无穷小的阶的比较是常考题型。掌握好无穷小的阶的定义之后,此类问题就转化为极限计算问题。

考试内容

考试要求

考试形式

复习点拨

建立应用问题的函数关系

根据背景列函数解析式

数学(一)的应用包括几何应用和物理应用,这都要求考生会根据问题的实际背景列出函数解析式。从考纲的角度,新考纲的第二页明确说明要求考生具有“综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力”。从真题的角度,近两年的数学(一)有一种题型是应用题。

利用极限存在的两个准则求极限

夹逼定理: n项分母互不相同的分式的和的极限,无穷小乘以有界量仍为无穷小;

单调有界原理:以递推公式形式给出的数列的极限。

看到n项分母互不相同的分式的和的极限,想到用夹逼定理(还可能用定积分定义,在二阶讨论),把待求极限的式子做适当放缩,并使得放缩后的式子收敛到同一个数即可。看到以递推公式形式给出的数列的极限的存在性问题,想到用单调有界原理。具体操作,说明所给数列单调和有界即可。说明数列有界可用数学归纳法;说明数列单调可用作差法。

用等价无穷小求极限

极限计算

复习该考点时注意:1 理解等价无穷小替换的原理,注意乘除因子替换没问题,若想替换加减因子,需用泰勒公式推导。2 记清常见的等价无穷小替换的公式。 3 广义化。

判断函数间断点的类型

选择题(判断判断函数间断点的类型或找出函数的间断点的个数)

记清间断点的分类标准,计算左右极限,对号入座即可。步骤可总结为:找可疑点,一一判断。

应用闭区间上连续函数的性质

零点存在定理:判断(或证明)函数在给定区间上是否存在零点;中值相关的证明。

介值定理:化掉积分号;中值相关的证明。

基础阶段要求把这几个定理的内容理解清楚(会用自己的话表述),会做基本类型的题目,如证明一个函数在某区间上存在零点。

考试内容

考试要求

考试形式

复习点拨

函数的概念

理解

直接考:求定义域,求解析式,判断值域;

间接考:基本每个题都与函数有关

函数是高等数学的研究对象,函数的概念中学就接触过,只不过在高等数学中研究函数的方式不同了,引入了极限这个强大的工具,进而可以对其求导、求积分等。

复合函数及分段函数的概念

理解

复合函数:求解析式,求导,求积分等;

分段函数:求极限、求导数、求积分等

复合函数及分段函数的概念不难理解,可以多见见考查它们的题型。

极限的概念

理解

判断正误的选择题

严格的数学表述考试要求不高,要理解到“函数存在极限是指在自变量的某个变化过程中因变量无限接近某一实数”。

函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系

理解

直接考:分段函数在分段点处的极限;

间接考:函数连续性,间断的分类,函数可导性等

函数左极限与右极限的概念的要求与极限类似:严格的数学表述要求不高,但要理解这种表述的意思。

(未完待续)
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