逻辑

【考研名师辅导】2020考研管综:关于抽签问题的研究

来源:跨考2019-10-16

  记得高中课本上有一个这样的结论,在不知道前面的人是否抽中签的情况下,每个人抽中签的概率是相同的.这句话也就意味着如果后面的人知道了前面的人抽签的结果,那么每个人抽中签的概率就不相等了.那么这样会不会造成抽签不公平呢?其实不然,抽签原理来自全概率公式,是指抽签的顺序和中签的概率无关。我觉得正是因为知道了前面的人是否中签的情况下,后面的人中签概率发生变化,才恰恰说明抽签是公平的,与顺序无关。至于前面的人抽签结果对后面的人中签情况影响体现在两个方面:

  一方面,如果已知前面的人中签,会降低后面的人中签概率。例如,有十支签,其中有两支“好签”,如果已知第一个人把好签抽去的情况下,那么剩下的人每个人中签的概率就会变成1/9。如果所有“好签”都被抽出的话,那么后面的人中签概率将会降为0。

  另一方面,已知前面的人都没中签的情况,那么后面的人中签概率会增加。例如,有十支签,其中有两支“好签”,如果已知第一个人没有抽中的情况下,那么剩下的人每个人中签的概率就会变成2/9。如果剩下的人数等于“好签”数目的话,那么中签概率会增加到100%。

  综上所述我们知道了前面抽签的人的结果对后面的抽签的人的影响,那么后面抽签的人的结果对前面的人是不是也有同样的影响呢?显然只有一个“好签”的情况下,如果知道后面的人中签,先抽签的人中签的概率就会降为0。那么后抽签的人发现没有中签,前面抽签的人中签的概率是不是也会相应增加呢?

  记得以前有个综艺节目,主办方会准备三个外表相同的盒子,但是其中只有一个是有礼物的,另外两个是空的,主持人会让嘉宾选择一个,选好后主持人会打开一个空的盒子(他是知道结果的,嘉宾无论选中与否都有一个空盒子可以打开),然后给嘉宾一个选择:是否用选择的盒子去换另一个未打开的盒子。这个时候意见有两种:一种是换,因为选中空盒子的概率是2/3,换了以后就能选中有礼物的盒子,换了选中的概率是2/3。另一种是换不换都行,因为礼物一定在这两个盒子之中,所以每个盒子有礼物的概率都是1/2,所以换不换都可以。

  那么到底哪种说法正确呢?我们到底换还是不换呢?换不换的概率真的都是1/2吗?我们可以把盒子的数目扩大到100个,如果你选完之后,主持人打开了98个空盒子,这个时候你还能说你选中的盒子和剩下的盒子有礼物的概率都是1/2吗?其实这相当于你只选了一个,但是别人选了剩下的所有,自然是不对等的,换才是正解。这个就是后抽签的人未中签对于前面抽签的人的结果的影响。也就是说前面的人未中签会增加后他之后抽签的人中签的概率,但是后抽签的人未中签不会增加前面抽签的人中签的概率(不是最后一个抽签的人)。

  我大胆的预测一道抽签原理的问题:十个人抽十支签,其中只有一支“好签”,第一个抽完之后打开发现没有中,第二个抽完签之后没有在第一时间打开,这时第三个人抽完也打开了发现没中,剩下的七个人还没有抽,那么这第二个人中签的概率是多少?

  A.1/10 B.1/9 C.1/8 D.1/7 E.1/6

  聪明的你想一想选什么呢?

  (本文为跨考教育教研室梁轶群老师原创,转载请注明出处。)

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