数学

【名师辅导】2021考研管综数学绝对值的和函数精讲

来源:跨考2020-04-20

  形如y=|x-a|+|x-b|的函数,我们称之为绝对值的和函数,它的几何意义就是x到数轴上两点a和b的距离和,随着x向数轴两端取值,这个函数的值会越来越大,且没有最大值。当在x在a和b之间(包括端点)取值,y值没有变化,这个时候取得最小值|a-b|。我们下面以函数y=|x-a|+|x-b|为基础进行变形,来得到新的绝对值函数。

  首先我们增加一下绝对值的数量,令y=|x-a|+|x-b|+|x-c|,几何意义变成了x到三个点的距离和,没有本质的变化,仍然是取不到最大值,但是最小值有了变化。之前两个点的时候,只要在两点之间取值就可以取得最小值,三个点情况变得复杂了一点,我们令,这样b点是在其他两点的中间,我们让x在a,c两点之间取值,这样x到这两点的距离和是固定的也是最小的,那么接下来我们只要让x到b点的距离越小越好,显然这两点重合的时候最小,也就是说x=b时y取得最小值,也即是三个绝对值的函数当x取中间那个数的时候y取得最小值。同样的方法,我们令绝对值的数量进一步增加到n个的时候,函数变成

  ,我们只要将这n个点从小到大排序,如果n为奇数,那x取中间的那个点的值就可以让y取得最小值;如果n为偶数,那x在中间的两个点之间取值就可以让y取得最小值,特别的,如果中间两个点相等,那x的取值也只是一个,并不是一个范围。

  第二我们改变一下x的系数,令y=|2x-a|+|2x-b|,发现如果所有x的系数都相同的话,并没有什么影响,因为可以设k=2x,那么函数变成y=|k-a|+|k-b|,和y=|x-a|+|x-b|的表现形式相同,求最值的方法也相同。但是如果我们只改变其中一个系数,情况就不同,比如我们可以y=|2x-a|+|x-b|,这个时候它的几何意义变成2x到a的距离与x到b的距离和,那这样的函数我们如何求最值呢?其实也很简单,我们只要把绝对值拆开就可以了,具体如下

  

  ,这样就变成了我们已经解决过的第一类问题了,再进一步进行拓展y=|mx-a|+|nx-b|,只要把x的系数统一成一样的就可以,所以就算m和n互质也没关系,甚至可以是分数。

  综上我们再遇到绝对值和函数的问题就能轻松的解决,无论是绝对值数量多,还是x的系数不统一,都不再是我们解决问题的障碍,通过简单的变形都能很容易的找到令函数取得最小值的自变量取值范围以及最小值。

  (本文为跨考教育教研室梁轶群老师原创,转载请注明出处。)

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