数学

【跨考名师辅导】疑点解析:排列组合中的“分房”问题

来源:跨考2020-12-08

  在今年的教学中,仍然发现排列组合是很多同学的疑难点,这部分内容在理解上容易出现偏差。很多文科生在高中阶段没接触过这部分内容;有些地区高考对于排列组合的考查要求很低,导致很多考生在此的基础十分薄弱;最直接的表现的表现就是对一类问题从逻辑上理解有偏差,而这些“想当然”的理解乍一听还有些道理,学生便以此作为依据在这个问题的认识上自恰,形成了一些根深蒂固的错误认识。比如今天要探讨的“分房”问题。

  分房问题是排列组合里分派问题中的一种,需要用乘法原理解决。先看题目背景:将n个人等可能的任意分到m个房间里的分派种数。使用条件:(1)人不同;(2)房间不同;(3)任意分(房间可以重复使用)。解法是用分步乘法原理,让n个人分为n步依次选择房间,每个人都可选m个房间中的一种,有m种选法,共有种方法。先解释使用条件:(1)人不同;若人相同,事实上人选哪个房间是没有区别的,会产生大量重复情况;(2)房间不同;若房间相同,这个问题实际上成了把n个人分成了m个组,每组人任选,就成了分组问题;(3)任意分(房间可以重复使用);若每个房间只能被选一次,在下一步里人可选择的房间将变少,不再是m种选法。

  来看这个典型问题:10个人分到8个房间入住,每间房可入住多人,有多少种住法?答案是。因为甲、乙、丙、丁……这10个人要住进A,B,C,D……这8间房,甲可以有8种选择,乙有8种选择,丙有8种选择……

  有同学问,为什么不是呢?按照这个同学的思路,房子A选人,有10种选择;房子B选人,有10种选择;房子C选人,有10种选择……一共有种方法。这种想法乍一看有点道理,其实经不起逻辑上的推敲。如果房子A选人,有10种选择,假如选了甲,因为人只能被选一次,或者说一个人不可能同时入住两个房间,所以在下一步房子B选人,有10种选择是不可能的,必然小于10种选择。有同学又说,那就不重复选人:房子A选人,有10种选择;房子B选人,有9种选择;房子C选人,有8种选择……显然,这题就被曲解成了10个人入住8个房间,每个房间至少有一人入住,有多少种分派方法?这种问题要用分组再分配的方法解决。

  这类问题,我们把其中的元素分为两类:可重复元素和不可重复元素。可重复元素例如分房问题里的房,下车问题里的车站等,称为“店”;不可重复元素比如分房问题里的人,下车问题里的人等,称为“客”。计算结果简记为()这样一种指数形式。大家只需判断出谁是“店”,将其个数放在底数位置,另一个元素放在指数位置即可。

  思考下面这个问题,5名学生争夺三项比赛冠军,获得冠军的可能情况有多少种?答案是,这题非常易错,很多同学把规律用死了,认为人一定是“客”,于是客选奖,为。假如所有人都选一种奖,而一种奖只能由一个人获得,显然是错的。这里一个人是可以获得多个奖的,可重复,因此看做店,奖项不可重复获得,看作客,因此是

  (本文为跨考教育教研室郑良聪老师原创,转载请注明出处。)

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