高等数学

2021考研数学:高数41个必会知识点

来源:跨考2020-04-02

  时间飞逝,2021考研的号角已经拉响,数学作为考研课程中的公共课程在其中起着至关重要的作用。考研数学一直是很多孩子们的“心病”,但是只要你决定了要考研,数学就是你逃不开的科目!高数是2021考研数学复习的重要部分,下面小编整理了2021考研高数41个必会知识点,供大家参考。

  一、函数极限连续

  1、正确理解函数的概念,了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性,理解复合函数、反函数及隐函数的概念。

  2、理解极限的概念,理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。理解无穷小、无穷大以及无穷小阶的概念,会用等价无穷小求极限,掌握无穷小的比较方法。

  3、理解函数连续性的概念,会判别函数间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和介值定理),并会应用这些性质。

  4、掌握利用两个重要的极限:lim(sinx/x)=1,lim(1+1/x)=e,理解连续函数的概念及闭区间上连续函数的性质。

  5、理解分段函数、复合函数的概念,了解反函数和隐函数的概念。

  重点:极限(数列、函数)的概念,两个重要极限,连续函数及其性质应用

  难点:极限(数列、函数)概念、用定义证明极限

  二、一元函数微分学

  1、理解导数和微分的概念,导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程,理解函数可导性与连续性之间的关系。

  2、掌握导数的四则运算法则和一阶微分的形式不变性。了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数,分段函数的一阶、二阶导数。会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数及反函数的导数。

  3、理解并会用罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,了解并会用柯西中值定理。

  4、掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用。

  5、理解函数极值的概念,掌握函数最大值和最小值的求法及简单应用,会用导数判断函数的凹凸性和拐点,会求函数图形水平、铅直和斜渐近线,会描绘简单函数的图形。

  6、了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径及两曲线的交角。

  7、掌握用罗必塔法则求未定式极限的方法

  重点:导数和微分的概念,平面曲线的切线和法线方程函数的可导性与连续性之间的关系,一阶微分形式的不变性,分段函数的导数。罗必塔法则函数的极值和最大值、最小值的概念及其求法,函数的凹凸性判别和拐点的求法。

  难点:复合函数的求导法则隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算。

  三、一元函数积分学

  1、理解原函数和不定积分的概念,了解定积分的概念。

  2、掌握不定积分的基本公式,不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法和分部积分法。

  3、会求有理函数、三角函数和简单无理函数的积分。

  4、理解变上限积分定义的函数,会求它的导数,掌握牛顿莱布尼兹公式。

  5、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

  6、掌握用定积分计算一些几何量和物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力等。)

  重点:原函数与不定积分的概念及性质,基本积分公式及积分的换元法和分部积分法,定积分的性质、计算及应用。

  难点:第二类换元积分法,分部积分法。积分上限的函数及其导数,定积分元素法及定积分的应用。

  四、向量代数与空间解析几何

  1、理解向量的概念及其表示。

  2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),了解两个向量垂直、平行的条件;掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

  3、掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面直线的相互关系解决有关问题。

  4、理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

  5、了解空间曲线的参数方程和一般方程;了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。

  五、多元函数微分学

  1、了解二元函数的极限与连续的概念,二元函数的几何意义以及有界闭区域上连续函数的性质。

  2、理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分。掌握多元复合函数偏导数的求法,会求隐函数的偏导数。

  3、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

  4、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,掌握二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求多元函数的最大值和最小值及一些简单的应用问题。

  重点:二元函数的极限和连续的概念,偏导数与全重点是二元函数的极限和连续的概念,偏导数与全微分的概念及计算复合函数、隐函数的求导法,二阶偏导数,方向导数和梯度的概念及其计算。空间曲线的切线和法平面,曲面的切平面和法线,二元函数极值。

  难点:多元复合函数的求导法,二元函数的泰勒公式。

  六、多元函数积分学

  1、理解二重积分与三重积分的概念,了解重积分的性质。

  2、掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法,会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

  3、理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系;掌握计算两类曲线积分的方法;掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。

  4、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法。

  5、会用重积分、曲线积分和曲面积分求一些几何量和物理量。

  重点:利用直角坐标、极坐标计算二重积分。利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分。两类曲线积分的概念、性质及计算,格林公式。两类曲面积分的概念、性质及计算,高斯公式。

  难点:化二重积分为二次积分、改换二次积分的积分次序以及三重积分计算。第二类曲面积分与斯托克斯公式。

  七、无穷级数

  1、了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。掌握级数的基本性质及其级数收敛的必要条件,掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件;掌握正项级数收敛性的的比较判别法与比值判别法。

  2、会用交错级数的莱布尼兹定理,了解绝对收敛和条件收敛的概念及它们的关系。

  3、会求幂级数的和函数以及数项级数的和,掌握幂级数收敛域的求法。

  4、掌握e的x次方、sinx、cosx、ln(1+x),(1+x)的a次方的马克劳林展开式,会用它们将简单函数作间接展开;会将定义在[-L,L]上的函数展开为傅立叶级数,会将定义在上的函数展开为正弦级数和余弦函数。

  重点:数项级数的概念与性质,正项级数的审敛法,交错级数及其审敛法,绝对收敛与条件收敛的概念。幂级数的收敛半径、收敛区间的求法,将函数展成傅立叶级数。

  难点:求幂级数的和函数,将函数展成幂级数、傅立叶级数。

  八、常微分方程

  1、了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念

  2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法。

  3、会用降阶法解y(n)=f(x),y″=f(x,y),y″=f(y,y')类的方程;理解线性微分方程解的性质和解的结构。

  4、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

  5、会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

  6、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念

  重点:微分方程的概念,变量可分离方程,一阶线性微分方程及二阶的常系数线性微分方程的解法。

  难点:由实际问题建立微分方程及确定定解条件。

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