线性代数

【名师辅导】线性代数中的矩阵重难点分析

来源:跨考2019-06-17

  矩阵是线性代数的核心,在教育部考试中心所颁布的最新的考试大纲中,对矩阵部分规定的考试内容和考试要求如下:

  1.考试内容:矩阵的概念,矩阵的线性运算,矩阵的乘法,方阵的幂,方阵乘积的行列式,矩阵的转置,逆矩阵的概念和性质,矩阵可逆的充分必要条件,伴随矩阵,矩阵的初等变换,矩阵的秩,矩阵的等价,分块矩阵及其运算。

  2.考试要求:

  (1)理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质,了解对称矩阵,反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质;

  (2)掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质;

  (3)理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵;

  (4)了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求逆矩阵和秩的方法;

  (5)了解分块矩阵的概念,掌握分块矩阵的运算法则。

  下面,笔者将根据历年真题所呈现的题目类型,对矩阵部分考查的重难点进行逐一分析。

  1.矩阵的概念。矩阵是由m×n个元素按照某种顺序排成的m行n列的数表;矩阵和行列式的区别:(1)矩阵的结果是个数表,行列式的结果是个数值;(2)矩阵的行数与列数可以等或者不等,行列式的行数和列数必须相等。

  在矩阵中,若元素都是实数,则矩阵是实矩阵。在考研真题中,所讨论的一般都是实矩阵。此外,单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。

  2.矩阵的线性运算。

  (1)矩阵的加法运算:只有同型矩阵的才能相加减;

  (2)数乘矩阵:必须用数遍乘矩阵的所有元素;

  (3)矩阵的乘法运算:对于AB,要求矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,AB才可以相乘,此外注意矩阵的乘法一般不满足交换律和消去律;

  (4)方阵的幂运算:注意只有方阵才能做幂运算;

  (5)方阵乘积的行列式:方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积,即

  │AB│=│A│×│B│

  3.逆矩阵是矩阵的主要概念,逆矩阵的运算是矩阵的重要运算。考纲要求考生掌握和理解逆矩阵的有关概念,掌握矩阵求逆的方法和逆矩阵的性质,具有快速求矩阵的逆和解矩阵方程的能力。

  矩阵求逆题型主要有两种:

  (1)数值型矩阵求逆:方法有初等行变换法和分块求逆法。

  (2)抽象型矩阵求逆:方法有定义法和运算性质法。

  4.正确理解矩阵初等变换的概念,会用矩阵初等行(列)变换将矩阵化成行(列)阶梯形。此外,考纲还要求考生熟练掌握初等变换和初等矩阵的关系:对矩阵A左乘一个初等矩阵,等于对A作相应的行变换;对矩阵A右乘一个初等矩阵,等于对A作相应的列变换。此考点的题型多为选择题。

  5.理解矩阵的秩的概念,考纲要求考生掌握用初等变换求矩阵秩的方法。

  6.矩阵的分块运算。重点内容有:

  (1)矩阵按行或按列分块;

  (2)分块矩阵的线性运算(加法和数乘);

  (3)分块矩阵乘法运算;

  (4)分块矩阵转置运算;

  (5)分块矩阵的求逆计算;

  (6)分块矩阵的幂运算。

  参考资料:

  1.《2019全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》,教育部考试中心,高等教育出版社

  2.《1987-2019全国硕士研究生招生考试真题大全》,跨考教研室

  (本文为跨考教育教研室包新卓老师原创,转载请注明出处。)

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