线性代数

2021考研数学:线性代数不得不知四大考点

来源:跨考2020-04-23

  考研数学一直是很多孩子们的“心病”,但是数学作为考研课程中的公共课程在其中起着至关重要的作用。而线性代数是相对来说比较容易拿分的部分,经过分析了近年考试真题与大纲,总结出2021数学线性代数考试考查概率极高的四个核心考点,希望能对大家有一定帮助。

  矩阵的秩

  矩阵是解决线性方程组的解的有力工具,矩阵也是化简二次型的方便工具。矩阵理论是线性代数的重点内容,熟悉掌握了矩阵的相关性质与内容,利用其来解决实际应用问题就变得简单易行。正因为矩阵理论在整个线性代数中的重要作用,使它变为考试考查的重点。矩阵由那么多元素组成,每一个元素都在扮演不同的角色,其中的核心或主角是它的秩!

  通过几十年考研考试,老师对题目的形式在不断地完善,这也要求考生深入理解概念,灵活处理理论之间的关系,能变通地解答题目。例如对矩阵秩的理解,对矩阵的秩与向量组的秩之间的关系的理解,对矩阵等价与向量组等价之间区别的理解,对矩阵的秩与方程组的解之间关系的掌握,对含参数的矩阵的处理以及反问题的解决能力等,都需要在对概念理解的基础上,联系地看问题,及时总结结论。

  矩阵的特征值与特征向量

  矩阵的特征值与特征向量在将矩阵对角化过程中起着决定作用,也是将二次型标准化、规范化的便捷方式,故特征值与特征向量也是考查重点。对于特征值与特征向量,须理清其相互关系,也须能根据一些矩阵的特殊性求得其特征值与特征向量(例如根据矩阵各行元素之和为3能够判断3是其一个特征值,元素均为1的列向量是其对应的特征向量),会处理含参数的情况。

  线性方程组求解

  对线性方程组的求解总是通过矩阵来处理,含参数的方程组是考查的重点,对方程组解的结构及有解的条件须熟悉。例如2010年第20题(数学二为22题),已经三元非齐次线性方程组存在2个不同的解,求其中的参数并求方程组的通解。此题的关键是确定参数!而所有信息完全隐含在“AX=b存在2个不同的解”这句话中。由此可以得到齐次方程组有非0解,系数矩阵降秩,行列式为0,可求得矩阵中的参数;非齐次方程组有解故系数矩阵与增广矩阵同秩可确定唯一参数及b中的参数。至于确定参数后再求解非齐次方程组就变得非常简单了!

  二次型标准化与正定判断

  二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连,即与矩阵的特征值与特征向量紧密联系。这里需要掌握一些处理含参数矩阵的方法以便运算中节省时间!正定二次型有很优秀的性质,但毕竟这是一类特殊矩阵,判断一个矩阵是否属于这个特殊类,可以使用正定矩阵的几个充要条件,例如二次型矩阵的特征值是否全大于0,顺序主子式是否均大于0等,但前者更常用一些。

  这四个考点可以说是考试的重点考查对象,考生可以根据自己的实际情况围绕重点题型复习。

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