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2022考研数学线性代数行列式的计算方法
跨考考研2021-06-23
来源跨考网整理
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  2022考研的考生们即将进入暑期强化阶段,线性代数是2022考研数学复习的重要部分,建议考研数学基础不好的小伙伴早点开始复习,下面小编整理了2022年考研数学线性代数行列式的计算方法,一起来看看吧。

  方法1  化三角形法

  化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

  原则上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式,在一般情况下,计算往往较繁。因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式。

  例1:浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题(重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题)的解答中需要计算如下行列式的值:

  [分析]显然若直接化为三角形行列式,计算很繁,所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始;每一列与它一列中有n-1个数是差1的,根据行列式的性质,先从第n-1列开始乘以-1加到第n列,第n-2列乘以-1加到第n-1列,一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去,再将其化为三角形行列式,计算就简单多了。

  解:

  方法2  按行(列)展开法(降阶法)

  设为阶行列式,根据行列式的按行(列)展开定理有

  或

  其中为中的元素的代数余子式

  按行(列)展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行(列)展开法,可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算,这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下,按行(列)展开并不能减少计算量,仅当行列式中某一行(列)含有较多零元素时,它才能发挥真正的作用。因此,应用按行(列)展开法时,应利用行列式的性质将某一行(列)化为有较多的零元素,再按该行(列)展开。

  例2,计算20阶行列式[9]

  [分析]这个行列式中没有一个零元素,若直接应用按行(列)展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算,需进行20!*20-1次加减法和乘法运算,这人根本是无法完成的,更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素,则很快就可算出结果。

  注意到此行列式的相邻两列(行)的对应元素仅差1,因此,可按下述方法计算:

  解:

  以上就是计算行列式最基本的两种方法,接下来介绍的一些方法,不管是哪种,都要与行列式的性质和基本方法结合起来。

  下面是一常用的方法:

  方法3 递推法

  应用行列式的性质,把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式(比如,n-1阶或n-1阶与n-2阶等)的线性关系式,这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式(比如二阶或一阶行列式)的值,便可递推求得所给n阶行列式的值,这种计算行列式的方法称为递推法。

  [注意]用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话,即很难找出递推关系式,从而不能使用此方法。

  例3,2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式:

  (虽然这是一道证明题,但我们可以直接求出其值,从而证之。)

  [分析]此行列式的特点是:除主对角线及其上下两条对角线的元素外,其余的元素都为零,这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看,即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。

  证明:Dn按第1列展开,再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有:

  这是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推,计算较繁,注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式,因此,可考虑将其变形为:

  或

  现可反复用低阶代替高阶,有:

  同样有:

  因此当时

  由(1)(2)式可解得:

  证毕。

  [点评]虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构,然后得到一递推关系式,但我们不要盲目乱代,一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算,如果不

  行的话,就要适当地换递 推关系式,如本题。

  以上总共给出了计算行列式的3种方法,其中一些是常见的些是最基本的方法,还有一些是特殊但很实用的方法。在课外书中还有其他的一些方法,如:极限法、换元法、导数法、差分法、积分法等,但这些方法用处不多,所以不加以介绍。

  (注:本文来自网络,如有侵权,请联系删除)

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